数学学习

一、微积分

1.	函数与极限
•	函数的概念与性质
•	极限与连续
2.	一元微分学
•	导数与微分
•	导数的应用（如单调性、极值、凹凸性等）
•	洛必达法则
•	泰勒公式
3.	一元积分学
•	不定积分
•	定积分
•	积分的应用（如面积、体积、弧长等）
•	反常积分
4.	多元微积分
•	多元函数与偏导数
•	重积分
•	曲线积分与曲面积分
•	格林公式、高斯公式与斯托克斯公式

数列极限

定义:

对于一个实数数列{a_n}，如果存在一个实数 L，对于任意给定的正实数 ε（无论多么小），总存在正整数 N，使得当 n > N 时，就有

a_n - L

< ε 成立，那么我们称数列 {a_n} 的极限为 L，记作 lim(a_n) = L 或者 a_n → L。

换句话说，数列的极限 L 是指当数列的项足够靠近 L 时，这个数列的后续项都会无限地靠近 L。ε 实际上是一个很小的范围，当数列的值在以 L 为中心、ε 为半径的范围内时，就可以认为这些值都接近 L。

例1

等式两边求对数后等式成立吗？

当对等式两边同时取对数时，等式是否成立取决于所取的对数函数。如果取自然对数（以e为底的对数，通常表示为ln），那么等式仍然成立；如果取常用对数（以10为底的对数，通常表示为log），也可以成立。

当 |q| < 1 时，log q 的值为负数。

例2

不等式两边同时取x次方，仍然成立吗

1. 如果 ( x ) 是一个正实数，并且不等式两边的所有数都是正实数，那么不等式仍然成立。这是因为正实数的幂运算不改变不等式的方向。
2. 如果 ( x ) 是一个负实数或者是一个小数，并且不等式中包含负数或小数，那么不等式的方向可能会发生变化。取决于 ( x ) 的具体值以及不等式中的数值大小关系。
3. 在某些特殊情况下，不等式的方向可能会保持不变，但这取决于具体的不等式形式和 ( x ) 的取值范围。

例3

性质：

1. {Xn}收敛，极限唯一

1. {Xn}收敛，有界
   1. 有界是收敛的必要条件，不是充分条件
   2. 单调有界，则有极限

1. limXn n->∞ a>0(a<0) 存在N，n>N时Xn>0

2. {Xn}收敛于a，子数列{X(Kn)}收敛于a

   证明

   

   1. 推论
      1. 找到一个子数列不收敛，则原数列发散
      2. 找到两个子数列，虽然都收敛，但是极限不同，原数列发散
      3. 原数列收敛的 充分必要条件是 奇数列和偶数列构成的子数列收敛，且极限相同
      4. 找到一个子数列收敛，原数列不一定收敛

函数极限

定义:

常用的倒数

要化简不等式 $(\frac{1}{2^x}<a)$，可以按照以下步骤进行：

1. 首先，将底数改写为指数形式，得到 $(2^{-x}<a)$。
2. 接着，将不等式两边取倒数，并注意改变不等号的方向，得到$(\frac{1}{2^{-x}}>\frac{1}{a})$。
3. 然后，根据指数的倒数规则，将$(2^{-x})$改写为$(2^x)，\mathrm{得}\mathrm{到}(2^x>\frac{1}{a})$。
4. $\mathrm{当}\mathrm{以}(e)\mathrm{为}\mathrm{底}\mathrm{时}，(2)\mathrm{的}(x)\mathrm{次}\mathrm{方}\mathrm{取}\mathrm{自}\mathrm{然}\mathrm{对}\mathrm{数}\mathrm{的}\mathrm{结}\mathrm{果}\mathrm{为}(\ln (2^x))。\mathrm{根}\mathrm{据}\mathrm{对}\mathrm{数}\mathrm{的}\mathrm{性}\mathrm{质}，(\ln (2^x)=x\cdot \ln (2))$

例1：$lim(1/2){}^x=0$

$\mathrm{\forall }x\text{exist}x$

定义2：x->x0

定义3：左极限右极限

性质：

1. lim f(x)存在，是唯一的
2. 局部有界性：lim f(x)存在，存在x0的去心邻域
3. 局部保号性：lim f(x) = a，a>0，在去心邻域里f(x)>0
4. lim f(x)=a (x->x0) 充要条件 当x->x0时，取任意数列{Xn}，当lim Xn (n->+∞) 以X0为极限的时候，代进去lim f(Xn) (n->+∞) = a

例1

无穷小与无穷大

例1：lim x->0 x sin(1/x) = 0

sin(1/x)有界，有界乘以趋于0的就是0

链式法则

sin(x)’=cos(x)

单变量微积分

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$\frac{d}{dx}(\ln u(x))=\frac{u\prime (x)}{u(x)}$

(ln x)’ = 1/x

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$v=x^x$ 导数

ln v = x ln x ;

(ln v)’ = ln x + x * 1/x

v’/v = 1 + ln x

v’ = v (1 + ln x)将v=x^x代入

$d{x}^x/dx=x^x(1+lnx)$

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$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(1+\frac{1}{n}{)}^n$ 为什么 = e

ln 答案 = $ln(1+1/n{)}^n=n\ast ln(1+1/n)$

设$\mathrm{\Delta }x$ = 1/n -> 0

= $1/\mathrm{\Delta }x$ $ln(1+\mathrm{\Delta }x)$

= $1/\mathrm{\Delta }x$ $ln(1+\mathrm{\Delta }x)-ln1$

可以看做d lnx / dx

x = 1

因为ln x’ = 1/x，所以d lnx / dx

x = 1结果为1

ln 答案 = $ln(\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(1+\frac{1}{n}{)}^n)$ = 1

答案 = $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(1+\frac{1}{n}{)}^n=e^{ln(\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(1+\frac{1}{n}{)}^n)}$ = e

使用线性近似

$ln(a_k)=ln(1+1/k{)}^k=k\ast ln(1+1/k)$

因为ln(1+x) ~= x

ln(a_k) = k*(1/k) = 1,

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证明$\frac{d{x}^r}{dx}=r{x}^{r-1}$

1. $x^r=(e^{lnx}{)}^r=e^{rlnx}=e^{rlnx}\ast (rlnx{)}^{\prime }$
2. $u=x^r$，$\frac{u^{\prime }}{u}=(lnu{)}^{\prime }=\frac{r}{x}$，$u^{\prime }=x^r\frac{r}{x}$

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$f(x)\approx f(x_0)+f^{\prime }(x_0)\ast (x-x_0)$

$\frac{\mathrm{\Delta }f}{\mathrm{\Delta }x}\approx f^{\prime }(x_0)$ ($\mathrm{\Delta }x=x-x_0$) 当x=x0时，和上面公式一样

ln 1.1 = ?

x0 在 0 时，ln(1+x) ~= f(0) + f’(0)f(x-x0) ~= ln(1) + 1/1+0 * (x - 0) ~= x

x0 在 0 时，(1+x)^r ~= 1 + r(1+0)^r-1 * (x - 0) ~= 1 + rx

ln(1.1)，0.1 ~= 0，~= ln(1 + 1/10)，由上x=1/10，ln(1.1) ~= 1/10

常用：sinx ~= x, cosx ~= 1, e^x ~= 1 + x（x ~= 0）

$\frac{e^{-3x}}{\sqrt{1+x}}$ = e^-3x * (1+x)^1/2 ~= (1-3x) (1 - 1/2x), drop x^2 and higher

$f(x)\approx f(x_0)+f^{\prime }(x_0)\ast (x-x_0)+\frac{f^{\prime }‘(x_0)}{2}(x-x_0{)}^2$

why 1/2 f’‘(x0)?

f(x) = a + bx + cx^2, f(0) = a

f’(x) = b + 2cx, f’(0) = b

f’‘(x) = 2c, 1/2 f’‘(0) = c

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已知加水速率dV/dt = 2

r/h = 4/10, V = 1/3 πr^2h

what is dh/dt when h = 5?

r = 2/5h, V = 1/3 π (2/5h)^2 h

2 = dV/dt = π/3 (2/5)^2 3h^2 dh/dt

dh/dt = 1/2π (升/秒)

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牛顿迭代法

$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f^{\prime }(x_n)}$

slove x^2 = 5

从x0 = 2开始，f(x) = x^2 - 5, f’(x) = 2x

$x_1=x_0-\frac{x_0^2-5}{2x0}=x_0-1/2x_0+5/2x_0$

x1 = 1/2 * 2 + 5/4 = 9/4

x2 = 1/2 * 9/4 + 5/2 * 4/9 = 161/72

x3 = 1/2 * 161/72 + 5/2 * 161/72

相同写法

slove (64.1)^(1/3) ~= ?

y = x^1/3, dy = 1/3^(-2/3) dx（dy，dx视作无限小，只是题目取1/10）

A + x = 64, y = 64^(1/3) = 4

dy = 1/3(64)^(-2/3) dx = 1/3 * 1/16 dx = 1/48 dx （线性近似结果）

dx = 1/10, dy = 1/48 dx = 1/480

64.1^(1/3) ~= y + dy = 4 + 1/480

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换元法：$\int x^3(x^4+2{)}^{5}dx$

u = x^4 + 2, du = 4x^3 dx

= $\int \frac{u^{5}du}{4}=\frac{1}{24}{u}^6+C=\frac{1}{24}(x^4+2{)}^6+C$

中值定理

费马定理

f在极值点x0 ∈ (a, b)处可导 => f’(x0) = 0

罗尔中值定理

f在[a, b]连续，(a, b)可导

f(a) = f(b) => $\text{exist}\zeta \in$(a,b), f’($\zeta$) = 0

拉格朗日中值定理

f在[a, b]连续，(a, b)可导

=> $\text{exist}\zeta \in (a,b),s.t.f^{\prime }(\zeta )=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$

科西中值定理

f，g在[a, b]连续，(a, b)可导，g’(x) != 0, $\mathrm{\forall }x\in (a,b)$

=> $\text{exist}\zeta \in (a,b),s.t.\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f^{\prime }(\zeta )}{g^{\prime }(\zeta )}$

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$G(x)=\int g(x)dx$

积分的唯一性

if F’ = G’, F(x) = G(x) + c

二、线性代数

1.	行列式
•	行列式的定义与性质
2.	矩阵

题目要求

已知：

$A\overrightarrow{v}=\lambda \overrightarrow{v}$

矩阵 $A=\left[\begin{array}{ccc}0& 11& -1\end{array}\right]$。

求 $A$ 的特征向量和特征值，并计算 $A^n$ 的表达式。

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解答

1. 特征值

特征值满足 $det(A-\lambda I)=0$。

$$A-\lambda I=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& -1\end{array}\right]-\left[\begin{array}{cc}\lambda & 0\\ 0& \lambda \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}-\lambda & 1\\ 1& -1-\lambda \end{array}\right]$$

求行列式：

$$det(A-\lambda I)={\lambda }^2-\lambda -1=0$$

解得特征值：

$$\lambda =\frac{1\pm \sqrt{5}}{2}$$

记为：

$${\lambda }_1=\frac{1+\sqrt{5}}{2},{\lambda }_2=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$

---

2. 特征向量

对于特征值 ${\lambda }_1=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$：

$$A-{\lambda }_{1}I=\left[\begin{array}{cc}-\frac{1+\sqrt{5}}{2}& 1\\ 1& -\frac{1+\sqrt{5}}{2}\end{array}\right]$$

求解 $(A-{\lambda }_{1}I)\overrightarrow{v}=0$，即：

$$-\frac{1+\sqrt{5}}{2}x+y=0$$

令 $x=1$，则 $y=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$。

故特征向量为：

$$\overrightarrow{v_1}=\left[\begin{array}{c}1\\ \frac{1+\sqrt{5}}{2}\end{array}\right]$$

对于特征值 ${\lambda }_2=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$：

$$A-{\lambda }_{2}I=\left[\begin{array}{cc}-\frac{1-\sqrt{5}}{2}& 1\\ 1& -\frac{1-\sqrt{5}}{2}\end{array}\right]$$

求解 $(A-{\lambda }_{2}I)\overrightarrow{v}=0$，即：

$$-\frac{1-\sqrt{5}}{2}x+y=0$$

令 $x=1$，则 $y=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$。

故特征向量为：

$$\overrightarrow{v_2}=\left[\begin{array}{c}1\\ \frac{1-\sqrt{5}}{2}\end{array}\right]$$

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3. 求 $A^n$ 的表达式

设 $A=PD{P}^{-1}$，则 $A^n=P{D}^n{P}^{-1}$。

已知：

$$D=\left[\begin{array}{cc}\frac{1+\sqrt{5}}{2}& 0\\ 0& \frac{1-\sqrt{5}}{2}\end{array}\right]$$ $$D^n=\left[\begin{array}{cc}{\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)}^n& 0\\ 0& {\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)}^n\end{array}\right]$$

求 $P$ 和 $P^{-1}$：

$$P=\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ \frac{1+\sqrt{5}}{2}& \frac{1-\sqrt{5}}{2}\end{array}\right]$$ $$P^{-1}=\frac{1}{\sqrt{5}}\left[\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{5}-1}{2}& -1\\ -\frac{\sqrt{5}+1}{2}& 1\end{array}\right]$$

因此，

$$A^n=P{D}^n{P}^{-1}$$

•	矩阵的基本运算
•	逆矩阵
•	矩阵的秩
3.	向量空间
•	向量的线性组合与线性相关性
•	基与维数
4.	线性变换
•	线性变换与矩阵的关系
5.	特征值与特征向量
•	特征值的定义与性质
•	矩阵的对角化
6.	二次型

三、常微分方程

1.	一阶微分方程
•	分离变量法
•	齐次方程与非齐次方程
•	一阶线性微分方程
2.	高阶微分方程
•	常系数齐次线性微分方程
•	常系数非齐次线性微分方程
•	拉普拉斯变换
3.	微分方程的应用
•	物理、工程中的微分方程模型

四、无穷级数

1.	数项级数
•	收敛与发散
•	收敛判别法
2.	幂级数
•	幂级数的收敛半径与收敛区间
•	泰勒级数
3.	傅里叶级数
•	傅里叶级数的基本理论

五、向量分析

1.	向量代数与解析几何
•	向量的运算
•	空间解析几何
2.	向量函数
•	向量函数的极限与连续性
•	向量函数的导数与积分

六、复变函数

1.	复数与复平面
•	复数的基本运算
•	复平面与复数的几何意义
2.	解析函数
•	解析函数的定义与性质
•	柯西-黎曼方程
3.	复积分
•	复积分的基本概念
•	柯西积分定理与积分公式
4.	级数展开
•	复变函数的幂级数展开
•	势级数与留数定理

七、概率与统计

1.	概率论基础
•	概率的基本概念
•	随机变量与分布
•	数学期望与方差
2.	数理统计
•	抽样分布
•	参数估计
•	假设检验

八、数值分析

1.	插值法
•	拉格朗日插值
•	牛顿插值
2.	数值积分与数值微分
3.	线性方程组的数值解法
4.	常微分方程的数值解法