数学学习

数列极限

定义:

对于一个实数数列{a_n}，如果存在一个实数 L，对于任意给定的正实数 ε（无论多么小），总存在正整数 N，使得当 n > N 时，就有

a_n - L

< ε 成立，那么我们称数列 {a_n} 的极限为 L，记作 lim(a_n) = L 或者 a_n → L。

换句话说，数列的极限 L 是指当数列的项足够靠近 L 时，这个数列的后续项都会无限地靠近 L。ε 实际上是一个很小的范围，当数列的值在以 L 为中心、ε 为半径的范围内时，就可以认为这些值都接近 L。

例1

等式两边求对数后等式成立吗？

当对等式两边同时取对数时，等式是否成立取决于所取的对数函数。如果取自然对数（以e为底的对数，通常表示为ln），那么等式仍然成立；如果取常用对数（以10为底的对数，通常表示为log），也可以成立。

当 |q| < 1 时，log q 的值为负数。

例2

不等式两边同时取x次方，仍然成立吗

1. 如果 ( x ) 是一个正实数，并且不等式两边的所有数都是正实数，那么不等式仍然成立。这是因为正实数的幂运算不改变不等式的方向。
2. 如果 ( x ) 是一个负实数或者是一个小数，并且不等式中包含负数或小数，那么不等式的方向可能会发生变化。取决于 ( x ) 的具体值以及不等式中的数值大小关系。
3. 在某些特殊情况下，不等式的方向可能会保持不变，但这取决于具体的不等式形式和 ( x ) 的取值范围。

例3

性质：

1. {Xn}收敛，极限唯一

1. {Xn}收敛，有界
   1. 有界是收敛的必要条件，不是充分条件
   2. 单调有界，则有极限

1. limXn n->∞ a>0(a<0) 存在N，n>N时Xn>0

2. {Xn}收敛于a，子数列{X(Kn)}收敛于a

   证明

   

   1. 推论
      1. 找到一个子数列不收敛，则原数列发散
      2. 找到两个子数列，虽然都收敛，但是极限不同，原数列发散
      3. 原数列收敛的 充分必要条件是 奇数列和偶数列构成的子数列收敛，且极限相同
      4. 找到一个子数列收敛，原数列不一定收敛

函数极限

定义:

常用的倒数

要化简不等式 $( \frac{1}{2^x} < a )$，可以按照以下步骤进行：

1. 首先，将底数改写为指数形式，得到 $( 2^{-x} < a )$。
2. 接着，将不等式两边取倒数，并注意改变不等号的方向，得到$ ( \frac{1}{2^{-x}} > \frac{1}{a} )$。
3. 然后，根据指数的倒数规则，将$ ( 2^{-x} ) $改写为$ ( 2^x )，得到 ( 2^x > \frac{1}{a} )$。
4. $当以 (e) 为底时，(2) 的 (x) 次方取自然对数的结果为 (\ln(2^x))。根据对数的性质，(\ln(2^x) = x \cdot \ln(2))$

例1：$lim(1/2){^x}=0$

$\forall x \exist x$

定义2：x->x0

定义3：左极限右极限

性质：

1. lim f(x)存在，是唯一的
2. 局部有界性：lim f(x)存在，存在x0的去心邻域
3. 局部保号性：lim f(x) = a，a>0，在去心邻域里f(x)>0
4. lim f(x)=a (x->x0) 充要条件 当x->x0时，取任意数列{Xn}，当lim Xn (n->+∞) 以X0为极限的时候，代进去lim f(Xn) (n->+∞) = a

例1

无穷小与无穷大

例1：lim x->0 x sin(1/x) = 0

sin(1/x)有界，有界乘以趋于0的就是0

mit

链式法则

sin(x)’=cos(x)